1.5 事件的独立性

1.5.1 定义

设 $A$ 和 $B$ 是两个事件，且 $P(A)>0$，$P(B)>0$。如果 $P(AB)=P(A)P(B)$，则称事件 $A$ 和事件 $B$ 相互独立，简称事件 $A$ 与事件 $B$ 独立。

1.5.2 独立事件的性质与结论

1. 若 $A$ 与 $B$ 独立，则 $P(A|B)=P(A)$，$P(B|A)=P(B)$。
2. 如果事件 $A$ 与事件 $B$ 独立，则事件 $\overline{A}$ 与事件 $B$ 独立，事件 $A$ 与事件 $\overline{B}$ 独立，事件 $\overline{A}$ 与事件 $\overline{B}$ 也独立。
3. 任意事件 $A$ 都与概率为 0 或 1 的事件独立。
4. 若 $0<P(A)<1$，则 $A$ 与 $B$ 独立的充分必要条件：$$P(B|A)=P(B|\overline{A})$$$$P(B|A)+P(\overline{B}|\overline{A})=1$$

1.5.3 互斥与独立的关系

若 $0<P(A)<1$, $0<P(B)<1$，则 A、B 独立是 A、B 不互斥的充分条件，A、B 互斥是 A、B 不独立的充分条件

若不满足 $0<P(A)<1$, $0<P(B)<1$，则互斥与独立无必然联系